Page 177 - olokliroma

177
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

2
f(x)= x -3x+2, αν x (- ,3]
- x+5 , αν x (3,+ )
Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τ η
C f , τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=0, χ=5.

Η συνάρτηση f είναι συνε-

χής στο γιατί:

● είναι συνεχής για χ 3

(πολυωνυμική)

2
lim (x -3x+2)=
-
x 3
= 3 -3 3+2= 2
2
●
+
x lim (- x+5)=- 3+5= 2
3

2
f(3)= 3 -3× 3+2= 2

δηλαδή
limf(x)=f(3)=2 άρα

x 3
η f συνεχής για χ=3

x -3x+2=0 x=1 η x=2 και - x+5=0 x=5
2
Είναι δηλαδή:

α=0<1<2< 3<5= β (3 σημείο αλλαγής τύπου)

● f(x)<0 στο διάστημα [1, 2] και

● f(x)>0 στα διάστήματα [0,1], [2,3], [3,5]

Έτσι

1 2 3 5
Ε(Ω) = f(x)dx- f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx
0 1 2 3

2
= 1 (x -3x+2)dx- 2 (x -3x+2)dx+ 3 (x -3x+2)dx+ 5 (- x+5)dx
2
2
0 1 2 3
3 2 1 3 2 2 3 2 3 2 5
= x -3 x +2x - x -3 x +2x + x -3 x +2x + - x +5x
3 2 0 3 2 1 3 2 2 2 3

= 5 + 1 + 5 +2= 23 τ.μ.
6 6 6 6

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017