Page 201 - olokliroma

201
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

1
x
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)= e , χ>0 και μία αρχική
της, έστω F, με F(1)=0.

α) Nα βρείτε το πρόσημο της F
β) Δείξτε ότι η F είναι κοίλη και να βρείτε την εφαπτομένη
της C F στο χ 0 =1
γ) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης F, τον άξονα χ’χ και
την ευθεία χ=2, να δείξετε ότι 2Ε<e.

α )
● Η F είναι παράγουσα της

f, οπότε
1
F'(x)=e >0 , x>0

άρα η F γνησίως αύξου-

σα στο (0, + )
F ¯
● Για 0<x<1

F(x)<F(1) F(x)<0

F ¯
● Για x>1

F(x)>F(1) F(x)>0

β )
1 1
● F"(x)=(e )' =e 1 '
x
1

=- e 2 <0, x>0 που σημαίνει ότι η F είναι κοίλη
x
1
● x =1, F(1)=0 και F'(1)=e =e,
1
0
οπότε η εφαπτομένη της C στο x =1 είναι:
0
F

ε:y-0=e(x-1) ε:y=ex-e
γ )
Το σημείο επαφής C και (ε) είναι το (1, 0)
F
● F(x)>0 στο (1, 2) οπότε Ε= 2 F(x) dx
1
● Η F είναι κοίλη, άρα η εφαπτομένη είναι πάνω απ'τη C
2 2 F

F(x)<ex-e 2 F(x) dx< 2 (ex-e) dx E<e x -x
2
1 1 1
1 e
E<e(0-( -1)) E< 2E<e
2 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017