Page 199 - olokliroma

199
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

2
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=χ -2χ+2, χ 1.
Αν η συνάρτηση f αντιστρεφεται, τότε να υπολογίσετε το
εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική πα -
ράσταση της συνάρτησης f και της αντίστροφης συνάρτη-

σης f -1 .

Έχουμε

h(x)=f(x)-g(x)=x -2x+2
2

● f'(x)=2x-2 0 (χ 1)

άρα η f γνησίως αύξου-
σα για χ 1

για χ ,χ 2 f :
1

χ 1 2 ` f χ 1 <f χ (1)
2

● για y ,y f(Α):
1 2
y f χ , y f χ
1 1 2 2
x 1 f 1 y , x 2 f 1 y 2
1
1
y 1 y ` f χ 1 < f χ 2 `
2

χ 1 2 ` f 1 y 1 f 1 y 2

1
άρα η f γνησίως αύ-
ξουσα για χ 1

1
● Αφού οι f, f είναι γνησίως αύξουσες για χ 1, τότε οι C και
f
C 1 τέμνονται πάνω στην ευθεία y=x.
f
Δηλαδή τα σημεία τομής των C και C f 1 είναι ίδια με τα ση-
f

μεία τομής των C και y=x.
f
y= x -2x+2 x= x -2x+2 0= x -3x+2 x= 1 ή x= 2
2
2
2
` ` `
y= x y= x y= x y= x
Α(1,1)
`
Β(2,2)

Αν Ε το ζητούμενο εμβαδόν και Ε το εμβαδόν που περικλεί-
1
εται από τη C και τις ευθείες y=x, χ=1, χ=2, τότε Ε= 2Ε

1
f

Ε = 2 2 | x-(f(x)) | dx= -2 2 (x -3x+2) dx =-2 2 ( x 3 - 3x 2 +2x)' dx
2
1 1 1 3 2
2
=-2 x 3 - 3x 2 +2x =-2 8 -6 +4 +2 1 - 3 +2 4 5 = 1 τ.μ.
3 2 1 3 3 2 3 3 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017