Page 218 - olokliroma

218
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

38.
α ) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: με συ-
νεχή πρώτη παράγωγο.
1
Αν η f είναι συνεχής να δείξετε ότι
f(λ) f (x) dx+ λ f(x) dx= λf(λ)-κf(κ)
-1
f(κ) κ
x
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g(x)=e +x-1.
β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την
γραφική παράσταση της αντίστροφης της συνάρτησης
g, τον άξονα χ'χ και τις ευθείες χ=0 και x=e .
γ) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
I = e +1 [g (x)+lnx ] dx+ 2 (e +x-1 ) dx
2
-1
x
1 e 1
3
δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y= x χωρίζει
2e 2
το χωρίο του (β) ερωτήματος σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
ή

δ) Να υπολογίσετε το θετικό αριθμο α, ώστε η ευθεία με
εξίσωση y=αx να διαιρει το χωρίο του ερωτήματος (β)
σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

39.
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=e , x και g(x)=lnx, χ>0
x
α) Να βρειτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C και
f
C που διέρχονται από την αρχή των αξόνων καθώς και
g
τα σημεία επαφής τους Γ και Δ αντίστοιχα.
β) Να βρειτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ .
γ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη
1
C , την ευθεία y=e και τον άξονα y'y και Ε είναι το
f 2
εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C , την ευθεία
g
x=e και τον άξονα χ'χ, να αποδείξετε ότι Ε = Ε = 1
1 2
δ) Αν Α(1, 0) και Β(0, 1) είναι τα σημεία τομής των C και
g
C με τους άξονες αντίστοιχα, να βρείτε το εμβαδόν
f
του χωρίου ΑΒΓΔ.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017