Page 220 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 220

1. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f:( 0 , ) με τύπο :
f(x)=αx ν+1 , α>0, x 0 και τα σημεία Α(x , f(x )) και Β(x , 0)
1 1 1
α) Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία η γραφική παρά-
σταση C της συνάρτησης f χωρίζει το τρίγωνο ΟΑΒ σε
f
δύο ισεμβαδικά χωρία;
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
(η ρυθμό μεταβολής)
γ) Αν (ε) είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της παραγώγου της συνάρτησης f στο σημείο της
Γ(1, 3α) και Ε το εμβαδόν που ορίζεται από την C , την
f'
(ε) και τον άξονα x'x, να βρείτε την τιμή του α, ώστε
1 .
4
δ) Αν Ε είναι το εμβαδόν που οριζεται απ΄τις C , C και
1
f'
f
την ευθεία x=1, να αποδείξετε ότι Ε 1 ( ), όπου
Z(1, 0) και Δ το σημείο τομής της ευθείας (ε) και του
άξονα x'x.

α)

Είναι
1
(OAB) = (OB) ×(AB)
2
1
= × x × f(x )
2 1 1

1
= × x × α× x ν+1
2 1 1
1
= αx ν+2
2 1

Αφού α> 0, x 0 τότε
f x x 1 0
Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παρά -

σταση C της συνάρτησης f, τον άξονα χ'χ και τις ευθείες
f
x=0 και x=x είναι
1
x 1 x 1 αx ν+2 x 1 αx ν+2
E(Ω) = f(x)dx= αx ν+1 dx= = 1
0 0 v+2 0 ν+2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017