Page 223 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 223

2. ΕΠΙΛΟΓΗ
α ) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: με συ-
νεχή πρώτη παράγωγο.
Αν η f είναι συνεχής να δείξετε ότι
1
f(λ) f (x) dx+ λ f(x) dx= λf(λ)-κf(κ)
-1
f(κ) κ
x
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g(x)=e +x-1.
β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την
γραφική παράσταση της αντίστροφης της συνάρτησης
g, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=0 και x=e .
γ) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2
I = e +1 [g (x)+lnx ] dx+ 2 (e +x-1 ) dx
-1
x
1 e 1
δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y= 3 x, χωρίζει
2e 2
το χωρίο του (β) ερωτήματος σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

α)

Η f είναι γνησίως μονότονη στο [κ, λ], οπότε είναι και 1 1,
άρα αντιστρέφεται.
f(λ)
-1
Έστω Ι= f (x) dx για το οποίο θέτουμε
f(κ)
● x=f(y) οπότε dx=f'(y)dy
f 1 -1 f 1 -1
● Για f(y )=f(κ)~y =κ και f(y )=f(λ)~y =λ
1 1 2 2
Έτσι το Ι γίνεται
λ λ λ
Ι= f (f(y) ) f'(y)dy= y f'(y)dy=[yf(y)] - (y)' f(y)dy
-1
λ
κ κ κ κ
λ λ
= λf(λ)-κf(κ)- f(y)dy = λf(λ)-κf(κ)- f(x)dx
κ κ
Άρα
f(λ) λ
f (x) dx= λf(λ)-κf(κ)- f(x)dy `
-1
f(κ) κ
f(λ) λ
f (x) dx+ f(x)dy= λf(λ)-κf(κ)
-1
f(κ) κ

β)
Έχουμε
g x e x 1>0 για κάθε x , αφού e >0
x
άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε
αντιστρέφεται.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017