Page 226 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 226

3. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνεται η συνάρτηση f:[1,e] με συνεχή πρώτη παρά-
γωγο στο [1, e] και f(1)=0, ώστε

e e e 2 e( 2 +1)
1 xf'(x)dx= 1 (1-x )f'(x)dx= e 2x lnx dx
α) Να δείξετε ότι f(e)=2e
e
β) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 f(x)dx
γ) Nα αποδείξετε ότι
e [f(x) ] dx 3e 3 e
2
2
1

Αρχικά
2
1
e e( 2 +1) dx= e( 2 +1)× e 2 1 × dx
e 2x lnx e 2 lnx x
e 2 1
= e( 2 +1)× ×(lnx)' dx
e 2 lnx
= e( 2 +1)×[ lnx] e 2
e
= e×( 2 +1)( lne - lne)
2
= e×( 2 +1) ( 2-1)= e
συνεπώς η δοσμένη σχεση γίνεται
e e
xf'(x)dx= (1-x)f'(x)dx= e (1)
1 1

α)
Από την (1)
e
xf'(x)dx= e
1 ~ e xf'(x)dx+ e (1-x)f'(x)dx= 2e
e 1 1
(1-x)f'(x)dx= e
1
e e
xf'(x)dx+ (f'(x)-xf'(x))dx= 2e
1 1
e e e
xf'(x)dx+ f'(x)dx+ xf'(x)dx= 2e
1 1 1
e e e
xf'(x)dx + f'(x)dx xf'(x)dx = 2e
1 1 1
e
f'(x)dx= 2e
1
[f(x)] =2e
e
1
f(e)-f(1)=2e

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017