Page 228 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 228

4. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=e , x και g(x)=lnx, x>0
x
α) Να βρειτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C και
f
C που διέρχονται από την αρχή των αξόνων καθώς και
g
τα σημεία επαφής τους Γ και Δ αντίστοιχα.
β) Να βρειτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ .
γ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη
1
C , την ευθεία y e και τον άξονα y'y και Ε είναι το εμ-
f
2
βαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C , την ευθεία
g
x=e και τον άξονα x'x, να αποδείξετε ότι Ε 1 Ε 2 1
δ) Αν A(1, 0) και B(0, 1) είναι τα σημεία τομής των C και
g
C με τους άξονες αντίστοιχα, να βρείτε το εμβαδόν
f
του χωρίου ΑΒΓΔ.

α)
1
x
Είναι f'(x)=e , x και g'(x)= , x 0
x
● Έστω Γ(x , f(x ))= Γ(x , e ) το σημείο επαφής της εφαπτο-
x
1
1
1
1
μένης της C η οποία έχει εξίσωση
f
x
y-f(x )= f'(x )(x-x )`y-e x 1 = e (x-x )
1
1
1
1
1
και αφού διέρχεται από το Ο(0, 0)
x
0-e x 1 = e (0-x ) `-e x 1 =-x e `x = 1
x
1
1
1
1
1
Έτσι
x 1 1
f(x ) e ε : y e= e(x 1) ε : y= ex
f
1
f
f'(x ) e
1
Το ζητούμενο σημείο επαφής είναι
Γ(1, e)
● Έστω Δ(x , f(x ))=Δ(x , lnx ) το σημείο επαφής της εφα-
2 2 2 2
πτομένης της C η οποία έχει εξίσωση
g
1
y-f(x )= f'(x )(x-x ) ` y-lnx = x (x-x )
2
2
2
2
2
2
και αφού διέρχεται από το Ο(0, 0)
1 1
0-lnx = (0-x ) `-lnx =-x ` lnx = 1` x = e
2 x 2 2 2 2 x 2 2 2
Έτσι

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017