Page 240 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 240

8. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο μ ε
1 2 2
0 e χ f(x) dx= e χ f(x)

α) Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f.
β ) Να αποδείξετε ότι
f(t) f(x) για κάθε t [x, x+1] με χ>0
γ ) Να αποδείξετε ότι
lim 1 f(t) dt=
x +
δ ) Δίνεται η συνάρτηση h: που είναι συνεχής στο μ ε
2
2
h(x)= e -1 × χ -e x 2 -2x -e +6e-1 , x
2
2e-6 2e-6
και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για χ 0=1.
Να βρείτε τη τιμή της συνάρτησης f στη θέση χ 0=1.

α )
Η δοσμένη σχέση γίνεται
διαδοχικά
1 2 2
e χ f(x) dx= e χ f(x)
0
Θέτουμε
f(x) =c-e χ 2

1 2 2
e χ (c-e ) dx=
χ
0
= e χ 2 c-e χ 2 ~
1 2 2
e χ (c-e ) dx= c~
χ
0
1 2
e χ c dx-
0
1 2 2
χ
- e χ e dx= c~
0
1 2 1 2
e χ c dx- e 2χ dx= c~
0 0
c 1 (2χ)' × e χ 2 dx- 1 1 (4χ)' × e 2χ 2 dx= c~
2 0 4 0
c [e ] - 1 [e 2χ 2 ] = c~
2
1
1
χ
2 0 4 0
c (e-1)- 1 (e -1)= c~
2
2 4
e -1
2
c=
2e-6

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017