Page 243 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 243

9. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνονται οι συναρ τ ήσεις f, g με
1
3
f(x)=2ημχ και g(x)= - 3 x +2x, για κάθε χ 0

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε χ>0
1) ημχ<χ
2) f(x)>g(x)
β ) Αν Ε 1 είναι το εμβαδόν που ορίζεται από τη C f, τους ά-
ξονες χ'χ, y'y και την ευθεία χ=π, ενώ αν Ε 2 το εμβα-
δόν που ορίζεται από τη C g τους άξονες χ'χ, y'y και την
Ε Ε 1
ευθεία χ= 6 , να αποδείξετε ότι 1 Ε 2 = 3
2
γ ) Έστω τετράγωνο πλευράς 3 και στο εσωτερικό του
παίρνουμε 10 τυχαία σημεία Α 1, ..., Α 1 0. Αν α είναι η από-
σταση δύο από τα σημεία Α 1, ..., Α 10, να αποδείξετε ότι
υπάρχουν τουλάχιστον δύο από αυτά τα σημεία ώστε να

ισχύει e 6ημt dt e 6t - t 3 dt
2 2

α1)
Ισχύει
|ημχ| |χ|
Όμως
χ>0
συνεπώς
|ημχ| χ ` ημχ<χ
αφού η ισότητα ισχύει για
χ=0, ενώ χ>0

α2)
Είναι
f(x)>g(x)` f(x)-g(x)>0
Θεωρούμε τη συνάρτηση
1
h(x)= f(x)-g(x)=2ημχ+ χ -2χ
3
3
που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με
1
3
2
● h'(x)= 2ημχ+ χ -2x ' 2συνχ+χ -2
3
● h''(x)=(2συνχ+χ -2)' -2ημχ+2χ=2(-ημχ+χ)>0
2
γιατί, λόγω του ερωτήματος (α1)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017