Page 29 - olokliroma

29
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

● Α ν f(x) 0 για κάθε x στο [α, β] και όχι παντού μηδέν, τότε :
β
f(x) dx> 0
α

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ

β β β
● f(x) dx= f(y) dy= f(t) dt=... , α< β
α α α
β
Το ολοκλήρωμα f(x) dx εξαρτάται από τη συνάρτηση f και
α
από τα άκρα α και β και οχι από το ποιά θα είναι η μεταβλητή.

α
● f(x) dx= 0
α

β α
● f(x) dx=- f(x) dx, αν α>β
α β

Ε φ α ρ μ ο γ ή

β
Nα αποδειχθεί ότι cdx= c(β-α), για οποιοδήποτε c .
α
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
α
● Αν , τότε cdx= 0= c(α-α)= c(β-α).
α
● Αν , επειδή η f(x)=c είναι συνεχής στο [α, β], έχουμε

β β
cdx= f(x)dx = lim [(f(ξ )Δx+f(ξ )Δx+L+f(ξ ))Δx]
α α v 1 2 ν
β-α
= lim [f(ξ )+f(ξ )+L+f(ξ )]
v ν 1 2 ν
β-α
= lim (c+c+...+c)
v ν
β-α
= lim × νc = c(β-α)
v ν
● Αν , τότε
β α
cdx=- cdx
α β .
=-c(α-β)= c(β-α)

ΣΧΟΛΙΟ

τ ο cdx εκφράζει το εμβαδόν

ορθογωνίου με βάση | |
και ύψος |c| (σχήμα).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017