Page 31 - olokliroma

31
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

ται από τη γραφική παράσταση της
f, τον άξονα των χ και τις ευθείες x , x , είναι μεγαλύ-

τερο από το εμβαδόν (αβΓΔ) και μικρότερο από το (ΓΔΕΖ).

● Α ν f είναι συνεχής στο χ [α, β], με f(x) 0 ή f(x) 0 για κά-
θ ε χ [α, β], τότε :

β β
| f(x) dx| | f(x)| dx
α α
ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από τις ιδιότητες απολύτων ισχύει -|χ| χ |χ| για κάθε χ ,
συνεπώς,
-|f(χ)| f(χ) |f(χ)| (1)
● η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , οπότε και οι |f|, -|f|
είναι συνεχείς στο ,
● οι συναρτήσεις f, |f|, -|f| είναι συνεχείς στο , οπότε και
ολοκληρώσιμες στο .
Ολοκληρώνοντας την (1) στο διάστημα [α, β]:

β β β
(-| f(x)| )dx f(x) dx | f(x)| dx`
α α α
β β β
- | f(x)| dx f(x) dx | f(x)| dx (2)
α α α
Από την ιδιότητα απολύτων: |χ| θ ` -θ χ θ, για κάθε χ
και θ>0, η (2) δίνει
β β
| f(x) dx| | f(x)| dx
α α
ΣΧΟΛΙΟ

Στη περίπτωση, που η f είναι συνεχής στο χ [α, β] και δεν
διατηρεί πρόσημο, για κάθε χ [α, β], τότε :

β β
| f(x) dx| | f(x)| dx
α α

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017