Page 118 - Buku Aljabar Linear & Matriks

Contoh 4.7

Misalkan u = ( 2, −1, 3 ) dan a = ( 4, −1, 2 ). Carilah komponen vektor u

sepanjang a dan komponen vektor u yang orthogonal ke a.

Penyelesaian:

u • a = (2)(4) + (−1)( −1) + (3)(2) = 15
2
2
2
2
║a║ = 4 + ( −1) + 2 = 21

Jadi, komponen vektor u sepanjang a adalah:
u • a 15  20 5 10 
proy u = a = , 4 ( − 2 ,1 ) =  , − , 
a
a 2 21  7 7 7 

dan komponen vektor u yang orthogonal ke a adalah:

 20 5 10   6 2 11 
u − proy a u = ( 2, −1, ) 3 −  , − ,  = − , − , 
 7 7 7   7 7 7 

Untuk membuktikan bahwa vektor u − proya u dan a adalah tegak lurus

dengan menunjukkan bahwa hasil kali titiknya adalah nol.

Rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat ditulis:

u • a
proy u =
a a

Jika  menyatakan sudut di antara u dan a, maka u • a = ║u║║a║cos  ,

sehingga panjang komponen vektor u sepanjang a dapat juga ditulis

sebagai:

proy a u = u cos θ

109 | V e k t o r - v e k t o r d i R u a n g - 2 & R u a n g - 3