Page 215 - Buku Aljabar Linear & Matriks

7.3 DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Misalkan A matriks berukuran m  n maka ada matriks diagonal 1

berukuran r  r dengan r  min{m, n}, matriks orthogonal U berukuran m

 m, matriks orthogonal V berukuran n  n, sehingga:

t
A = U  V

dengan  adalah matriks berukuran m  n yang mempunyai bentuk

  1 0 


 0 0 

Catatan:

t
1) Bentuk A = U  V disebut dekomposisi nilai singular untuk matriks A.
Bilangan 1 adalah tunggal, tetapi matriks U dan V tidak.

2) Nilai singular dari A didefinisikan sebagai  j =  j j 1= ,2 , ... n ,

3) Dengan menghitung matriks

A A = V   V
t
t
t
yaitu matriks V mendiagonalkan A A secara orthogonal. Jadi kolom
t
t
dari matriks V berisi eigen vektor matriks A A. Demikian pula dengan
t
matriks U terhadap matriks A A. Jadi kolom dari matriks U
t
merupakan eigen vektor dari A A.
4) Nilai rank(A) sama dengan banyaknya nilai singular tak nol.

Misalkan matriks,

 0 1 0 0 
 0 0 1 0 


A =
 0 0 0 1 
 
 0 0 0 0 

206 | N i l a i E i g e n & V e k t o r E i g e n