Page 82 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Лекции 28, 29. Корреляция и линейная регрессия

Цель лекции. Ввести понятие корреляционной зависимости. Вывести формулу
уравнения регрессии.
Основные вопросы
1. Понятие корреляционной зависимости.
2. Задачи теории корреляции.
3. Вычисление параметров уравнения регрессии по методу наименьших
квадратов.
4. Коэффициент корреляции и его свойства

Зависимость между случайными величинами Xи Yназывается статистической, если
каждому значению одной из них соответствуют распределение другой, меняющееся
с изменением первой величины и по вариантам, и по частотам.
Каждомузначению x=x i соответствует распределение значений y:
Варианты y 1 y 2 . . . y k
Частоты n i1 n i2 . . . n ik

Для каждого значения x=x i вычислим групповые средние:
y n  y n ...  y n
у  1 i1 2 i2 k ik , где n   ij .
n
хi
n xi xi j
Средняя арифметическая наблюдавшихся значений случайной величины Y ,
соответствующих значению xслучайной величины X называется условной средней
у ˆ .
х
Определив для каждого значения x=x i условную среднюю у ˆ , получим
хi
следующую таблицу:
x x 1 x 2 . . . x k

у ˆ у у . . . у
х
1 х
х
2
хk
Если каждому значению x соответствует одно вполне определенное значение
условной средней у , т.е. если между переменными xи у существует
х
х
функциональная зависимость у  f (x ), ( f ( x ) const ), то в этом случае
х
статистическая зависимость между переменными x и yназывается корреляционной
зависимостью.
Уравнение у  f (x ) называется уравнением регрессииYна X. График этого
х
уравнения называется кривой регрессии.
При изучении зависимости между случайными величинами независимая
переменная называется факторным признаком, а функция −
результативнымпризнаком.
Первая задача теории корреляции: установить форму корреляционной связи, т.е.
вид функции регрессии. Если функция f (x ) линейная, то корреляция называется
линейной. Допустим, что признаки X и Y связаны линейной корреляционной
зависимостью.
Пусть в результате наблюдения получены nпар чисел
(x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), ..., (x n ; y n ). Уравнение регрессии Y на X будем искать в виде
y  a  bx. Параметры a и b определим из системы нормальных уравнений
x

80