Page 85 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

… … … … … … …
m x x … x … x
2
mj
mp
m
1
m
Столбцы этой таблицы можно рассматривать как реализацию случайных
величин X , X ,..., X , имеющих нормальный закон распределения с
p
2
1
математическими ожиданиями M( X )  a и одинаковыми дисперсиями. По
j
j
указанной выборке необходимо проверить справедливость нулевой гипотезы H :
0
a  a  ...  a . Другими словами, проверяется гипотеза о том, что фактор Aне
p
2
1
влияетна результативный признак. Неизвестные математические ожидания a
j
заменим выборочными средними x , которые являются несмещенными оценками
j
для a . Таким образом, в дисперсионном анализе проверяется гипотеза о равенстве
j
выборочных средних.
Дисперсионный анализ изучает влияние факторов по их дисперсиям. По правилу
сложения дисперсий, дисперсия всего комплекса наблюдений равна сумме
межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:
2 2 2
    
2
Межгрупповая дисперсия  возникает под действием какого-либо фактора,
который приводит к различным значениям групповых средних, и отражает
вариацию этих средних. Внутригрупповая дисперсия  2 возникает под
действием прочих случайных факторов.
Умножим равенство      2 на число наблюдений N. В результате
2
2
получим равенство Q  Q  Q , где
2
1
2
Q   x ( ij  x) − общая сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений
j i
x от общей средней x ;
ij
2
Q 1   n j x ( j  x) − сумма квадратов отклонений групповых средних от общей
j
средней x , Q называют факторной суммой;
1
2
Q 2   x ( ij  x ) − сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений x от
j
ij
j i
групповых средних x ; Q называют остаточнойсуммой.
2
j
Дисперсия как показатель вариации зависит от числа единиц в группе. Для
определения степени влияния факторов нужен показатель, свободный от подобного
влияния и позволяющий сравнивать группы с разной численностью.
Такими показателями служат общая, факторная и остаточная дисперсии,
которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее им
число степеней свободы.
Q Q Q
S 2  S 2  1 S 2  2
общ
N  1 факт p  1 ост N  p
Проверка гипотезы H о равенстве групповых математических ожиданий
0
2
2
основывается на сравнении дисперсий S Факт и S ост .
S 2
Оказывается, что если гипотеза H верна, то величина F  Факт
0
2
S ост
имеет распределение Фишера (так называемое F - распределение).

83