Page 90 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Таким образом, (2;−2; 1) − решение системы.

Решение задания 4. а) Запишем расширенную матрицу системыи выполним
элементарные преобразования ее строк.
1  1 2 3
 
1  2 5 4 . 
 
 2 5 15 7 
Выполним прямой ход. Исключим переменную х из всех уравнений, кроме
1
первого. Для этого умножим первую строку на (−1) и прибавим ко второй строке;
затем умножим первую строку на (−2) и прибавим к третьей строке. Получим
(  )2 (  )1 1 1 2  3 1 1 2  3
   
1 2 5  4 ~ 0 1 3  1 .
   
 2 5 15 7   0 3 11 1 
Исключим переменную х 2 из третьего уравнения. Умножим вторую строку

полученной матрицы на (−3) и прибавим к третьей строке:
1 1 2  3 1 1 2 3 
   
(  )3 0 1 3  1 ~ 0 1 3 1  .
   
 0 3 11 1   0 0 2  2 
Прямой ход закончен. (AR )  3, (AR 1 )  3. Так как (AR )  R (A 1 ), система уравнений
совместна. Ранг матрицы системы равен числу переменных, поэтому система
имеет единственное решение. Третью строку почленно разделим на 2.
Выполним обратный ход. Исключим переменную х из всех уравнений, кроме
3
третьего. Для этого третью строку умножим на (–3) и (–2) и прибавим
соответственно ко второй и первой строке. Получим

1 1 2  3 1 1 0  5
   
0 1 3  1 ~ 0 1 0  4
(  )2 (  )3  0 0 1 1   0 0 1 1 




Умножим вторую строку на (–1) и прибавим к первому уравнению; в результате
исключим переменную х из первого уравнения.
2
1 1 0  5 1 0 0  1
   
(  )1 0 1 0  4 ~ 0 1 0  4 .
   
 0 0 1 1   0 0 1 1 

Из последней матрицы получаем: х 1  1, х 2  4 , х 3   1.
Обратный ход можно выполнить иначе. Последнюю расширенную матрицу,
полученную в результате выполнения прямого хода, запишем в виде системы
уравнений:

1 1 2 3  х  х  2х  ,3
   1 2 3
0 1 3 1  ~  х 2  3х 3  ,1
  
 0 0 2  2   2х 3   .2

88