Page 91 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Из третьего уравнения находим х ; подставляя его во второе уравнение, находим
3
х . Наконец, подставляя х и х в первое уравнение, находим х :
2
1
2
3
х 1  х 2  2х 3  ,3 х  4  2  ,3 х 1  ,1
  1 
х
х
 х 2  3 (  )1  ,1 ~  2  ,4 ~ 2  ,4
   
х
х
 х 3   .1  3   .1  3  .1
Таким образом, (1; 4;−1) − единственное решение системы уравнений.
б) Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные
преобразования строк как в первом случае.
(  ()1  )1 1 3 2 4  1 3 2  4 1 3 2  4
     
1 4 5 6  ~  )2( 0 1 3  2 ~ 0 1 3  2 .
     
 1 5 8 11   0 2 6 7   0 0 0 3 
Воспользуемся критерием совместности системы линейных уравнений:
1 3 2  4
1 3  2  
А ~   , A 1 ~  0 1 3 2  .


 0 1 3   
 0 0 0 3 
R (A )  2 , (AR 1 )  3. Итак, (AR )  R (A 1 ) , значит, система уравнений несовместна.
в)Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные
преобразования строк.
(  ()2  )1 1 2 1 1  2 1 2 1 1  2
    1 2 1 1  2
1 3 2 3  5 ~  )1( 0 1 1 2  3 ~   .


     0 1 1 2 3 
 2 5 3 4 7   0 1 1 2 3 
Система уравнений совместна, так как (AR )  R (A 1 )=2. Так как (AR )<4, то
система неопределенная. Найдем общее решение системы уравнений.
Определитель, составленный из коэффициентов при переменных х и х ,
2
1
1 2
 1 0 .
0 1
Поэтому переменные х и х будем считать основными, или базисными, а х и
2
3
1
х − свободными. Выполним обратный ход:
4
1 2 1 1  2 1 0 1  3   4
  ~  
(  )2  0 1 1 2 3   0 1 1 2 3 

 

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:
 х 1 х 3 3х 4   ,4

 х 2  х 3  2х 4  .3
Выразим основные переменные через свободные:
х 1  4  х 3  3х 4 ,

х
 2  3  х 3  2х 4 .
Придавая свободным переменным произвольные числовые значения, получим
частное решение системы уравнений.
Система имеет бесконечное множество решений
х   4 с  3 3с 4 ; х  3 с  3 2с 4 ; х  с 3 ; х  с 4 .
1
2
3
4

89