Page 77 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

t t
x   a  x 
n n
t
Число tпринято называть коэффициентом доверия. Число   называется
n
предельной ошибкой выборки, так как показывает наибольшее отклонение
выборочной средней х от математического ожидания а, которое возможно с
заданной вероятностью γ.
Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка небольшого
объема n 30. Требуется найти такое число Δ, чтобы выполнялось соотношение

P X  a     .
Если генеральная дисперсия  известна, то доверительный интервал находят
2
0
2
так же, как для большой выборки. Если же генеральная дисперсия 
0
2
неизвестна, то ее заменяют исправленной выборочной дисперсией s .
Рассмотрим случайную величину T, определяемую по формуле
X  a
T  n ,
S
где Х и S− это случайные величины, а n и а − числа.
Случайная величина T распределена по закону Стьюдента. Это распределение
не зависит от параметров распределения случайной величины X, а зависит только
от числа k, которое называется числом степеней свободы.
Число степеней свободы k определяется как общее число n вариантов
(наблюдений) случайной величины X минус число уравнений m, связывающих эти
наблюдения, т.е. k=n−m.
X  a
Случайная величина T  n имеет число степеней свободы  nk  1, так как
S
1
n вариантов связаны одним уравнением x  x n .
n i i
Для распределения Стьюдента составлены таблицы, по которым, зная число
степеней свободы k  n  1 и вероятность  , можно найти число t , при котором

вероятность TP  t    . Неравенство T  t означает, что

x  a n  t , или x  a  t  s .
s  n
t s
Значит, предельная ошибка выборки равна    . Раскрывая знак модуля,
n
получаем
t s t s
x    a  x   .
n n
Таким образом, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный
интервал, накрывающий неизвестный параметр aс заданной надежностью  .

Вопросы для самоконтроля.
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения. Большая выборка.
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения. Малая выборка.

75