Page 75 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

распределения, что и сама случайная величина X, т.е. M (X )  х , D (X )  2 ,
i 0 i 0
i  n , 1 .
1
Выборочная средняя X  X  X ...  X  также будет случайной величиной.
n 1 2 n
Вычислим ее математическое ожидание:
  X   M (X ) х n
M (X )  M   i    i  0  х .
0
 n  n n
Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания
(генеральной средней), так как M (X )  х . Можно показать, что математическое
0
ожидание выборочной дисперсии равно
n  1
2
M ( 2 )   ,
0
n
т.е. M ( 2 )  0 2 . Значит,  2 является смещенной оценкой генеральной дисперсии
2
2
2
 . Использование оценки  вместо дисперсии  приведет к систематической
0
0
ошибке в сторону уменьшения. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии
является исправленная дисперсия
n
2
s 2   .
n  1
n n n  1
2
2
Действительно, M (s 2 )  M ( 2 )      .
n  1 n  1 n 0 0
Найдем исправленную дисперсию:
2
n n  ( x  x) 2 n i  (x  x ) n
s 2   2  ∙ i = i i
n  1 n  1 n n  1
2
На практике пользуются исправленной дисперсий и полагают  0 2  s тогда,
2
когда объем выборки n<30. Если объем выборки n 30, то можно принять    ,
2
0
так как при большихn погрешность при замене  на  невелика.
0
Определение 3.Интервальной называется оценка, которая определяется двумя
числами − концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр (a<Θ<b).
Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.
Пусть Θ − оцениваемый параметр распределения, Θ*− его точечная оценка.
Точность оценки характеризуется числом |Θ−Θ*|. Если число δ>0 и |Θ−Θ*| <δ, то
чем меньше δ, тем оценка точнее.
Вероятность  , с которой осуществляется неравенство |Θ−Θ*| <δ, называется
доверительной вероятностью (надежностью) оценки Θ* параметра Θ
P(|Θ−Θ*| <δ)=γ .
Надежность  часто принимают равной 0,95, 0,99, 0,999.
Раскроем знак модуля в неравенстве |Θ−Θ*| <δ:
−δ< Θ−Θ* <δ, или Θ*−δ<Θ<Θ*+δ.
Имеем P(Θ*−δ<Θ<Θ*+δ) = γ.
Определение 4.Интервал (Θ*−δ; Θ*+δ), который накрывает неизвестный параметр
Θ генеральной совокупности с заданной вероятностью γ, называется
доверительным интервалом.

Вопросы для самоконтроля.
1. Точечные оценки параметров распределения.
2. Интервальная оценка. Доверительная вероятность.
3. Какой интервал называется доверительным.

73