Page 76 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Литература. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
1999.
Глава 16. § 13-15

Лекция 25. Доверительный интервал для неизвестного математического
ожидания нормального распределения

Цель лекции. Изучить вопрос построения доверительного интервала для
неизвестного математического ожидания нормального распределения.
Основные вопросы.
1. Построение доверительного интервала при известном σ
2. Построение доверительного интервала при неизвестном σ

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет нормальное
распределение, т.е. Х=N(a; ). Требуется построить доверительный интервал,
0
накрывающий неизвестный параметр a с заданной надежностью γ. Предположим,
что  известно.
0
Выборочные значения признака Х будем рассматривать как независимые
случайные величины X , X ...,, X , имеющие нормальный закон распределения, т.е.
n
2
1
X  N (a ; ) . Выборочная средняя
i 0
X  X  ...  X
X  1 2 n
n
также имеет нормальное распределение; M( X ) a . Найдем ее дисперсию:
  X   D( X ) n 2  2 
D( X )  D  i    2 i  2 0  0 , значит, ( X )  0 .

 n  n n n n

Число ( X )  0 называется ошибкой выборки.
n
Найдем число Δ так, чтобы выполнялось соотношение  XP  a     .
     n 
P X  a    2Ф       2Ф   .


  X    0 
 n t 
Обозначим  t . Тогда   0 . Так как 2Ф (t )   , то ( tФ ) .
 0 n 2
По таблице находим аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа,
равное  2 . Таким образом,
 t  
P  X  a  0    2Ф (t )   .

 n 
Заменив случайную величину X ее числовым значением x , получим

t t
x  0  a  x  0
n n
На практике, как правило,  неизвестно. Если объем выборки достаточно
0
большой ( n 30), то вместо неизвестного генерального  можно использовать
0
выборочное  . Таким образом, получим формулу для доверительного интервала,
накрывающего неизвестный параметр a с заданной надежностью γ.

74