Page 22 - Algebra 2° Sec GM

Capítulo 9

Divisibilidad algebraica

¿La división mos-
trada es exacta o ¿Se puede calcular
3
2
inexacta? 3x + 4x – x + 6 el resto de una divi-
sión polinomial sin

x + 2 efectuar el proceso
de la división?

Personaje
Recordemos que una división es exacta cuando el residuo es idénticamente
nulo, e inexacta cuando no lo es.

DivisibiliDaD algebraica
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
Se dice que un polinomio D(x) de grado no nulo es divisible entre
otro d(x), también de grado no nulo, si el resto de dividir D(x) entre
d(x) es idénticamente nulo. Entonces d(x) es divisor o factor de D(x).

Problema 1 René Descartes
3
3
2
Determine cuál de los polinomios, 4x + 3x + 5 ó 2x + 3x + 4, es divisible (Francia 1596 – Suecia 1650)
2
entre 2x – x + 2.
Uno de los más altos intelectos
Resolución: que contribuyó a crear la llamada
Para saber si es divisible debemos calcular el resto. Por Horner: edad de la Razón. Pienso y luego
• 2 4 0 3 5 • 2 2 3 0 4 existo, era su máxima filosofía.
1 2 –4 1 1 –2 Pensaba que el mundo podía
–2 1 –2 –2 2 –4 ser comprendido como una gran
3
0
2 1  1 2  máquina. Preconizaba la extensión
0
0
R(x) = 3 R(x) = 0 de las leyes de la mecánica a toda
la naturaleza.
No es divisible Es divisible
Pero su gran contribución a la
matemática es la creación de la
geometría analítica. A partir de su
Prohibida su reproducción total o parcia l
Teorema Del resTo o De DescarTes
preocupación de que los geóme-
El resto determina si un polinomio es divisible o no entre otro. tras griegos acrecían de un sistema
fundamental de ataque, comenzó a
Por eso, calcular el resto sin efectuar la división es de mucha ayuda para manejar líneas y figuras tridimen-
determinar la divisibilidad de un polinomio entre otro. Precisamente el Teo- sionales en una gráfica. Dibujaba la
rema del resto nos permite dicho cálculo. gráfica marcando unidades de una  Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
Supóngase que queremos hallar el resto línea horizontal y una línea vertical.
de dividir P(x) entre x – a. Entonces di- P(x) x – a Así, cualquier punto de la gráfica
vidimos : R q(x) podía describirse con dos números.

 P(x) = (x – a)q(x) + R (1) Aunque conservaba las reglas de
Si sustituimos x = a en (1), tenemos: la geometría euclidiana, combinaba
P(a) = (a – a)q(a) + R
Se observa que:  el álgebra y la geometría para
0 formar una nueva disciplina mate-
P(a) = R mática, la geométrica analítica.
El resto de dividir P(x) entre x – a es P(a)

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