Page 50 - Razonamiento Matemático MAXIMO

Aptitud Matemática

PERMUTACIÓN CIRCULAR Así por ejemplo:
El número de permutaciones que hacen “n” 6 6 5
2
elementos alrededor de un círculo es (n 1) . C  1  2  15 ó


Ejemplo: C  6!  6 5 4!  15
6
De cuantas maneras pueden sentarse 5 perso- 2 4!2! 4! 2!

nas alrededor de una mesa circular. 6 6 5 4 3
C  1  2  3  4  15 ó
4
Resolución: 6! 6 5 4!


6
S  (5 1)!  4! C  2!4!  2! 4!  15

2


S  4!  4 3 2 1  24 maneras Números combinatorios complementan, esto al


observar los ejemplos anteriores.
COMBINACIONES Es decir, buscando una relación
Si tenemos un conjunto de “n” elementos de los 6 6

cuales tomamos “r” tendremos un subconjunto al C  C 6 2
2
cual se llamará una combinación de “n” elementos En general se puede afirmar:
tomados de “r” en “r”. C m  C m 
m r
r
Para que se pueda demostrar fácilmente expre-
Nota: La diferencia entre combinaciones y va- sando cada número combinatorio en función
riaciones, está en que las primeras se diferen- de sus factoriales.
cian por sus elementos y las segundas por el or-
den de los mismos.
Ejemplo: Calcular:
100
100
Ejemplo: Dado el conjunto S  C 99  C 98

A  a , b , c , d C 100
99
Calcular las variaciones y las combinaciones de
los elementos de “A” tomando 3 a la vez Resolución:
C 100  C 100   C 100  100
1
99
100 99
Resolución: 100 99
Combinaciones: C 100  C 100   C 100    4950
100 98
2
98
abc ; abd ; acd ; bcd 1 2
Dos condiciones son diferentes sólo si difieren S  100  4950  50,5
por lo menos en un elemento. 100
Variaciones: S  50,5
abc, acb, bac, bca, cab, cba, aba, adb, bad,
bda, dab, dba, acd, adc, cad, cda, dac, dca, Ejemplo:
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb. Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se
quiere saber de cuantas maneras podemos sa-
Si cambiamos el orden de los elementos se puede car primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 2.
decir de una variación distinta de la anterior.
Nótese que: Resolución:
5
7
2
C  4 3 4 y V  4 3 24 N  C  C  C
3
2
2


Fórmula para calcular el número de combina- N  21 10 1  210
ciones de “m” elementos tomados “n” a la vez. N  210





C m  m  m 1 m 2  ...... m r 1 Ejemplo:
r
1 2 3 r Se saca de una urna que contiene 7 bolas nu-
ó expresado de otra manera: meradas, primero 2, luego 3 bolas, una a con-
tinuación de otra y luego finalmente 2. De
C m  m! donde m  cuantas maneras puede realizarse este suceso.
r
r
 m r !r! 
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