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EULER Y LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Euler hizo importantes contribuciones al estudio de las ecuacio-
nes diofánticas ya en el año 1735. Estas constituyen un punto cen-
tral en la teoría de números. Una ecuación diofántica es una
ecuación con coeficientes enteros y en la que solo se consideran
posibles soluciones también enteras. Su nombre proviene del ma-
temático griego Diofanto de Alejandría, quien fue el primero en
estudiarlas.
Euler no fue impermeable a su encanto, ya que buena parte
de su empeño numérico era la resolución de problemas heredados
de Fermat, y Fermat sentía un atractivo irresistible por Diofanto y
su campo de actividades. Pero el fruto no estaba todavía maduro
para que Euler lo recogiera, y faltaban muchas armas poderosas
para abordar sistemáticamente las ecuaciones diofánticas, como
la geometría algebraica o las integrales elípticas, que estaban to-
davía en sus albores. Aunque Euler tanteó las fronteras del impe-
rio de Diofanto, no lo conquistó. Quizá lo más recordado en este
terreno sea la demostración del caso n = 3 que dio Euler del último
teorema de Fermat. Este establecía la imposibilidad de resolver la
ecuación diofántica x" + y"= z" para n ~ 3, pero Euler demostró la
imposibilidad para n = 3. Parece que la demostración, que ya en-
contró en 1735, contenía un error, pero el propio Euler la corrigió.
Además, mientras estudiaba otra categoría de números confirmó
la solución para n = 4, que ya había establecido el propio Fermat.
La solución universal para cualquier n tuvo que esperar a Andrew
Wiles, a finales del siglo xx.
Euler también se interesó por la denominada ecuación de
Pell, la ecuación diofántica de la forma:

y2 = Ax2 +1,
donde A es un número entero concreto, no una incógnita. Esta
ecuación fue solucionada por Lagrange, quien desarrolló amplia-
mente el procedimiento de las fracciones continuas investigadas
por Euler. Su denominación actual procede de un error de Euler,
quien, al parecer, confundió a John Pell (1610-1685) con el mate-
mático William Brouncker (1620-1684), padre universalmente

118 SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORÍA DE NÚMEROS