Page 124 - 22 Euler

mente se han denominado funciones generadoras, que no son
otra cosa que ingeniosos trucos algebraicos encaminados a imitar
la realidad. En 1742, Euler ya concibió la idea de encontrar una
función generatriz de las particiones, y tras largos años de trabajo
llegó, a partir de la serie:

1 2 3
--=l+ x +x +x + ...
1-x

alafómmla:
"' "' ( 1 )
,
2 p(n) X" = n -k
n -0 k-1 l- x
Se puede comprobar, desarrollando el producto infinito de la
derecha, que aparecen las diferentes particiones del número n en
la forma, disimulada, de todas las agrupaciones de exponentes
inferiores a n que suman n. Por ejemplo, si tomamos n = 4, vemos
cuántos x4 se generan:

2 3 2 4 6 3 6 9
(l+ x +x + x + ... )(l+ x + x + x + ... )(1+ x + x +x + ... ) ...
4
Resulta 5x y, naturalmente, p(4) = 5.
De ahí Euler infirió un modo de calcular p( n ), aunque por
desgracia es un método recurrente, y solo permite calcular p( n) si
se conocen los valores anteriores:

p(n) = p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) +
+ p(n - 12) + p(n - 15) - p(n - 22) - ...

NÚMEROS DE BERNOULLI

Llamados así en honor a Jakob Bemoulli, pues fue el primero que
los trató en 1713, enArs conjectandi (Arte de conjeturar).
Uno se encuentra con estos números al calcular las sumas de
potencias de los enteros positivos:

124 SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORIA DE NÚMEROS