Page 125 - 22 Euler

2
2
2
1+2 +3 +4 + ... +k 2
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 + ... + k3
4
4
4
1+2 +3 +4 + ... +k 4
5
5
5
1+2 +3 +4 + ... +k5,
k
o, expresado al modo euleriano, las sumas·¿ nP. Se tiene que:
~ p 1 ~ ( p + 1 r p+l- i
L., n = -- L., .n
n • l p + 1 ·i•O i i '
donde los Bi son los números de Bemoulli. Para clarificar la fór-
mula de más arriba, se propone un ejemplo sencillo, por ejemplo,
la suma de los primeros cuadrados. Aplicando la fórmula y po-
niendo p = 2 en ella, se obtiene:

2 2 2 1 3 2 I 1( 3 1 2 1 )
1 +2 + ... +n = -(B n +3B n +3B 0n )=- n +-n +-n.
1
0
3 - 3 2 2
Euler calculó los treinta primeros números de Bernoulli,
una tarea de gran magnitud si se tiene en cuenta que el treintavo
es de este tamaño:

8 615 841 276 005
14322

Los números de Bernoulli terminaron apareciendo en la ex-
presión que Euler dedujo para t(2n), en el curso de sus investiga-
ciones posteriores al problema de Basilea y que era:

t(2n) = (-1)"+1 (2n)2" B2n.
2·(2n)!

Los números de Bernoulli también aparecen en la moderna
expresión de la fórmula de sumación de Euler-Maclaurin, aunque
Euler no se apercibió de ello cuando usó la fórmula para tantear
el valor de:

SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORIA DE NÚMEROS 125