Page 129 - 22 Euler

Euler demostró que si p y q son primos entre sí, entonces se
verifica:

cp(pq) = cp(p)cp(q).

Y, también, que si p es primo: cp(p) = p-1.
Asimismo, es de Euler, aunque bastante anterior, el resultado
de que si p y q son primos entre sí, se verifica el llamado pequeño
teorema de Fermat:

p "'(q) = l mod q,

donde mod q significa «módulo q» y quiere decir que p "'Cq) y 1
dejan el mismo resto al dividirse por q. Este teorema fue demos-
trado por Euler en 1736, en Theorematum Quorundam ad Núme-
ros Primos Spectantium Demonstratio (Una prueba de ciertos
teoremas sobre números primos), y se presentaba antes en la
forma restringida que le dio Fermat. Si se supone además que q
es primo, entonces se verifica cp(q)=q-1 y se tiene el enunciado
original de Fermat:

p q-t = 1 mod q,

con q primo y p y q primos entre sí. Euler ofreció no menos de tres
demostraciones concretas de este teorema, aunque es casi seguro
que no sabía que Fermat era uno de los padres del teorema original.
El moderno sistema de encriptación RSA, el sistema de clave
pública más utilizado, tiene en este teorema su base más firme,
como puede comprobarse en el anexo 6.

LOS NÚMEROS DE MERSENNE

Euler quiso descubrir números primos de gran tamaño. Muchos
fueron los matemáticos que hasta entonces habían supuesto, erró-
neamente, que los números MP de la forma MP= 2P- l, siendo P
un primo, eran todos primos. Pietro Cataldi (1548-1626) probó,

SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORÍA DE NÚMEROS 129