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de Euler solo se conocían tres parejas amigas: (220, 284), (17296,
18416) y (9363584, 9437056), encontradas por Thabit ibn Qurra
(836-901), Fermat y Descartes.
Euler, en un primer artículo, daba ya 30 parejas nuevas pero
no demasiadas pistas de por dónde discurrían sus pensamientos.
Luego elevó su aportación a 90 números amigos. La pareja (1184,
1210) fue descubierta en el siglo XIX por un modesto cultivador de
las matemáticas, Niccolo Paganini.
Se ha comprobado ya que no hay demasiadas parejas amigas:
el húngaro Paul Erdos (1913-1996) probó en su día que la densidad
de números amigos en el conjunto N es cero. Con la ayuda de las
computadoras se ha llegado a las decenas de millón de parejas
amigas. Más adelante volvió Euler sobre el tema, con su acostum-
brada perspicacia, y legó un criterio suficiciente para construir
números amigos:
Los números N = 2npq y M = 2"r son amigos si p,q y r son pri-
mos, de la forma:

P=(2(n -mJ+l) X 2"' - 1
q = (2(n-mJ+ 1) X 2" - 1
r=(2(n -1nJ+1)2 X 21n+n - 1
conn>m > O.

La condición sugerida por Euler es suficiente pero no nece-
saria. No proporciona todas las parejas amigas, pero es un paso
importante.

NÚMEROS PERFECTOS

Están estrechamente relacionados con los números amigos. Un
número se dice que es perfecto cuando es amigo de sí mismo.
Eso quiere decir que un número es perfecto cuando es igual a la
suma de sus divisores no triviales; es lo que sucede con 6 o 28, por
ejemplo, que cumplen:

6=1+2+3=6
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

134 SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORÍA DE NÚMEROS