Page 131 - 22 Euler

M y M y faltaban M 1' M , y M r En la actualidad, el récord
67 257 6 89 10
está en el M que tiene 12 978189 dígitos y cuya expresión
43112609
ocuparía más de 50 libros como el presente.
Euler demostró que M era primo en 1772, aunque es muy
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probable que ya lo hubiera averiguado antes. Lo cmioso es que
hubo que esperar más de un siglo para que Édouard Lucas (1842-
1891) encontrara, en 1876, el siguiente en el tiempo, M r (M y
12 61
M también son primos, pero se descubrieron con posterioridad.)
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Así, el récord del primo mayor estuvo en poder de Euler durante
aproximadamente 104 años.

LA RECIPROCIDAD CUADRÁTICA

La reciprocidad cuadrática, todo un cuerpo de doctrina aritmé-
tica plasmado por Gauss de modo brillante en las Disquisitiones
arithmeticae (Disquisiciones de aritmética), fue iniciada por Le-
gendre y Euler, este último en una carta a Goldbach, en 1742. Para
empezar, definamos primero el lenguaje, es decir, los símbolos
de Legendre (;). Supongamos p y q primos impares distintos y:

0sipaa0(modq)
2
(;) = 1 si x = p (mod q) es una ecuación resoluble
{ 2
-1 si x = p (mod q) es una ecuación irresoluble

Con esta notación Gauss, y no Euler, llegó a demostrar que:

(
( p) = {(~)siq•l mod 4) .
q
(-;)siq•3 (mod4 )
Lo cual puede reunirse (no fácilmente) en una sola fórmula.
Gauss descubrió todo lo anterior a los diecinueve años y lo tenía
en tal aprecio que lo calificó de aurum theorema, «el teorema
áureo».

SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORÍA DE NÚMEROS 131