Page 127 - 22 Euler

mos. He aquí cómo Euler encontró otra prueba de la infinitud de
los primos.
Sin embargo, Euler buscó algo más profundo: la d~nsidad de
los primos. Ya sabemos que son infinitos, pero ¿cuán infinitos?
Euler probó que la serie, limitada a denominadores primos:

1 1 1 1 1 1
¿ - = 1+-+-+-+- +-+ ... ,
pprimoP 2 3 5 7 11
que es una subserie de la serie armónica:

1 1 1 1 1 1
00
¿- = 1+-+-+-+-+-+ ... ,
n-1 n 2 3 4 5 6
es tambien divergente. Y aún probó más; si bien la serie armónica
diverge más o menos como el logaritmo den, la serie de los inver-
sos de los números primos todavía diverge más lentamente. Lo
hace como el logaritmo del logaritmo de n.
Las ideas de Euler, quien es considerado como iniciador
de las técnicas del análisis en teoría de números, fueron desa-
rrolladas primero por Legendre y luego por Gauss, verdaderos
iniciadores del estudio del teorema de los números primos,
que dice:

X
n(x).,.-,
lnx

donde n(x) es el número de primos menores que x . Dicho teo-
rema fue demostrado de manera independiente por los matemá-
ticos Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962) y Jacques
Hadamard (1865-1963) en 1896. Bernhard Riemann extendió las
ideas de Euler al terreno de los números complejos gracias a la
ampliación a los números complejos, C, de la euleriana función
zeta - vista en el capítulo 2-, que Euler solo había definido en
el conjunto de los números reales, R De ahí se saltó a la denomi-
nada teoría analítica de números y en la era moderna, a la nunca
probada hipótesis de Riemann.

SEGUNDA ESTANCIA EN RUSIA: EULER Y LA TEORÍA DE NÚMEROS 127