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Newton modificó en parte su enfoque infinitesimal, acercándose
más a la idea intuitiva de límite.
Veamos cómo utilizaba Newton estos elementos para hallar
una derivada. Partamos de la función y=x". Newton dice que si
la variable x fluye, es decir, cambia infinitesimalmente ax+ o, la
función se convertirá en ( x + o)". A continuación, desarrolla este
binomio, obteniendo la serie:

(x+o)" =X" +n·xn-1.o+ n(n-l) ·xn-2 02 + ...
·
2
Si restamos a esa expresión el valor y = x", tenemos entonces
que el incremento de la variable x, es decir, o, es equivalente al
incremento de la variable y, es decir:

n·x"-1 · o+ n(n-l) ·x"-2 ·02 + ...
2

y si simplificamos esa equivalencia por el incremento, nos queda
que 1 es equivalente a la expresión:

n · x"-1 + n(n-l) · x"-2 ·o+ ...
2

Y, como el propio Newton dice: «Ahora dejemos que estos
incrementos se desvanezcan», es decir, todos los términos con
el incremento desaparecen al hacer tender este valor a cero. De
1
esa forma la relación que nos queda es 1 a n • x"- •

EL CÁLCULO DE LEIBNIZ

Sobre 1675 ya aparecían en las notas de Leibniz las ideas que le
llevarían, con muchos cambios por el camino, a su concepción
del cálculo. Sin embargo, parece que las ideas que lo pusieron
en marcha ya las tenía previamente. En su obra Dissertatio de

Y EL CÁLCULO SE HIZO 101