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DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE ✓2

Pongamos por caso que ✓2 es racional. Entonces, puede expresarse como la
razón de dos números enteros: ✓2 =p/q. Podemos suponer, sin pérdida de
generalidad, que la razón anterior es irreducible, es decir, que no puede sim-
plificarse más, o, lo que es lo mismo, p y q no tienen divisores comunes. Aho-
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ra bien, de la expresión anterior se sigue que 2=p /q . Por tanto, p es par.
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Pero si un número entero al cuadrado es par, el número mismo, p, es par
(porque el cuadrado de un impar es siempre impar). Por tanto, podemos es-
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cribir p = 2k y 4k = 2q o 2k = q . Con lo cual, q es también par y q también lo
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es. iPero eso contradice la hipótesis de que no había divisores comunes entre
p y q! En consecuencia, alguna de nuestras hipótesis es falsa. No puede ser la
hipótesis de que la razón es irreducible; tiene que ser, efectivamente, la supo-
sición de que ✓2 es racional.
esencia. No se les ocurrió a los pitagóricos que bastaba generali-
zar su limitado concepto de número para resolver el dilema, que
es lo que los matemáticos han hecho a partir de la Edad Moderna,
cada vez que se encuentran con una dificultad similar. Pero es
explicable; en los albores de la matemática era imposible para los
pitagóricos asumir lo que les parecía inexpresable. Finalmente, se
vieron obligados a hacer una distinción entre magnitud y número,
entre las longitudes medibles en geometría y los números expre-
sables de forma aritmética. Así, ambas disciplinas se alejaban en
un divorcio que solo los trabajos en el siglo XVII de Franciscus
Vieta, Fermat y René Descartes lograrían remediar.

DESDE EL RENACIMIENTO HASTA EL SIGLO XVII

El Renacimiento trajo un verdadero despertar de la actividad in-
telectual matemática. Cuesta encontrar durante toda la Edad
Media resultados matemáticos prominentes en Europa; tales re-
sultados se dieron solamente en el mundo musulmán. Pero el gra-

EL TEOREMA QUE TARDÓ 350 AÑOS EN SERLO 25