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dado que todo número complejo tiene una parte real y una imagi-
naria, el espacio hiperbólico tiene en realidad cuatro coordenadas.
Dado que nuestra pobre visión se limita a tres coordenadas espa-
ciales, no podemos visualizar una forma modular. Digamos enton-
ces que una forma modular es un objeto matemático que habita en
el espacio hiperbólico, cumpliendo ciertas propiedades. Una de
ellas es que su parte irnaginalia es positiva, por lo que nuestros
objetos habitan en la mitad supelior del espacio. Otras propiedades
no son tan fáciles de desclibir, y las obviaremos en esta exposición.
Ahora bien, cada forma modular tiene, siguiendo un símil de
Sirnon Singh, un ADN, una selie de números que lo descliben por
completo, y que llamaremos Ml' M , • • • Mn. Análogamente, cada
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curva elíptica tiene asu vez otroADN, qU:e llamaremosE ,E , • • • En.
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Hasta bien entrado el siglo xx ambos campos -el estudio de
las curvas elípticas y el de las formas modulares- eran compar-
timentos estancos, sin la menor relación entre sí. Siguiendo la tra-
dición de especialización de los matemáticos, que se volvió cada
vez más aguda a partir del siglo XIX, quienes se ocupaban de una
cosa no terúan la menor idea de la otra.
Pero entonces llegaron los matemáticos japoneses Yutaka
Taniyama (1927-1958) y su amigo Goro Shimura, que postularon
un resultado asombroso: a cada curva elíptica le correspondía una
forma modular, y viceversa. Los ADN eran totalmente intercam-
biables. La secuencia de M de una forma modular era igual a la
secuencia de E de una curva elíptica, y viceversa.
No podían demostrar esta cortjetura cuando la plantearon en
el Japón de la posguerra, pero estaban bastante seguros de su
verdad. A la pregunta de un colega de si estaba asegurando que
algunas curvas elípticas terúan una correspondiente forma modu-
lar, Shimura contestó: «No, estoy afirmando que todas la tienen».
La cortjetura era hermosa, porque tendía un puente entre dos
áreas aparentemente ajenas. Era un puente entre dos mundos. Si
era cierta, significaba que cualquier teorema demostrado sobre for-
mas modulares seria cierto para las curvas elípticas, y viceversa La
belleza de todo esto no solamente consiste en que se ahorra la
mitad del esfuerzo, sino que a veces una demostración es mucho
más accesible en uno de los mundos que en el otro. La cortjetura

LOS INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL ÚLTIMO TEOREMA 55