Page 128 - 17 Laplace

En la primera
situación
(izquierda), no
sabemos qué bola
sacaremos, pero
se supone que
conocemos la
composición de la
urna. En cambio,
en la segunda
situación
(derecha), la duda ?
estriba en conocer
la composición de
la urna, que nos es
desconocida, a L_
partir de la bola
extraída.

Uno de sus primeros avances fue enunciar y demostrar el
teorema de Bayes (llamado así por Augustus de Morgan muchos
años después, que vindicó la prioridad de su compatriota), que de
seguro desconocía. Lo que aquí nos interesa es explicar la idea
latente tras la fórmula de Bayes que redescubrió Laplace. Imagi-
nemos una urna que puede tener dos composiciones diferentes: la
primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras, y la segunda,
3 blancas y 2 negras. Se extrae una bola al azar y resulta ser negra,
¿qué composición de la urna es más probable? Intuitivamente, a la
luz del color de la bola extraída, parece claro que la primera com-
posición tiene que ser más probable que la segunda (dado que en
esta última hay menos bolas negras). El teorema de Bayes-Laplace
no hace sino cuantificar numéricamente esta intuición.
Las dos causas que han podido originar el suceso «sacar bola
negra» son, precisamente, las dos posibles composiciones de la
urna. Si se supone a priori que ambas composiciones son igual-
mente probables (50% para cada una de ellas), la utilización de la
fórmula de Bayes lleva a que la probabilidad de la primera compo-
sición ha subido, tras la extracción de la bola negra, al 60%, mien-
tras que la probabilidad de la segunda composición ha bajado al
40%. Las probabilidades a priori (50% y 50%) han sido rectificadas
a posteriori (60% y 40%). Un resultado incontrovertible, puesto
que en la primera composición hay más bolas negras que en la
segunda y, por lo tanto, cabe esperar una mayor probabilidad de
que la bola haya sido extraída en esas condiciones.

128 PROBABILIDAD Y DETERMINISMO