Page 81 - 15 Arquimedes

La idea original se extiende si además de circunscribir la fi-
gura curvilínea con un polígono, hacernos lo propio pero inscri-
biéndola. Es decir, la figura curvilínea se va acorralando desde
dentro y desde fuera: se aumenta el número de lados de un polí-
gono inscrito y, asimismo, se aumenta el número de lados de un
polígono circunscrito a la superficie curvilínea. Por tanto, el mé-
todo de exhaución se generaliza o puede dividirse en dos proce-
dimientos:

- Agotamiento: se inscribe una figura poligonal en la super-
ficie curvilínea hasta casi agotarla, o sea, hasta minimizar
la superficie no cubierta.

- Compresión: se circunscribe una figura poligonal a la su-
perficie curvilínea hasta minimizar el espacio excedido.

Realmente es posible encontrar un polígono tan cercano a la
superficie curva corno se desee. Este resultado recibe el nombre
de «axioma de Arquímedes» (aunque ya estaba incluido de algún
modo en los Elementos euclídeos) y en términos modernos viene
a decir que si se torna una recta o magnitud cualquiera y se le quita
un trozo mayor que su mitad, al resto se le quita a su vez un trozo
mayor que su mitad y se procede así reiteradamente, se puede
llegar a un trozo de recta tan pequeño corno sea preciso.
El gran paso conceptual con el uso del axioma de Arquímedes
está en la idea de «aproximación». Los matemáticos griegos bus-
caban respuestas exactas y absolutas, por lo que sus procedimien-
tos se encaminaban a ello. Con el axioma de Arquímedes cualquier
persona que investigue, por ejemplo, un área, puede acercarse a
su valor tanto corno desee, aunque no la calcule de manera exacta.
Lógicamente, una vez este acercamiento sea el suficiente, puede
postularse un valor exacto. Arquímedes tenía verdadero aprecio a
este método de trabajo, puesto que conducía a una verdadera de-
mostración geométrica: una vez encerrada la superficie curva, se
procede mediante una doble reducción al absurdo para compro-
bar el valor de su área que se ha postulado a priori con el método
de exhaución. Los pasos lógicos son:

EL DEFENSOR DEL CÍRCULO 81