Page 110 - EMY SOHILAIT DASAR KALKULUS

9.3. Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain

dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial

terhadap x dan y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f :

   f   2 f    f   2 f
f   x   x   x  2 ; f   y  y    y 2



xx
yy


   f   2 f    f   2 f
f  (f )     dan f  (f y )    
x
yx
xy
 y   x   y x x   y    x y
y
x

Soal-soal dan Penyelesaian :
1) Tentukan turunan parsial ke dua dari fungsi berikut ini : z = 2x y + 5xy + y
3
2
3 2
 2 z  2 z
dan buktikan bahwa : 
 x y  y x
Penyelesaian :
Turunan parsial pertama dari fungsi adalah :
z  z 
3
2

2
 6x 2 y  5y dan  4 x 3 y 15 xy  2 y
x  y 
Turunan parsial kedua dari fungsi adalah :
2
 2 z  z
2
 12xy ;  4x 3  30xy  2
x  2 y 2
 2 z   2 z 
2

2
  x 4 3 y 15 xy   y 2  6x 2 y  5y 3 
 y x x   x y y 
2
12 yx 2  15y 12 yx 2  15y
2
 2 z  2 z
2
Terbukti bahwa :   12x 2 y  15y
 x y  y x
y
2
2) Tentukan keempat turunan parsial kedua dari : f(x, y)  xe  sin(x/y)  x 3 y
Penyelesaian :

Turunan parsial pertama :

1  x  y x  x  3
y
2
(x,f x y)  e  cos   3x 2 y dan (x,f y y)  xe  cos    2x y



y  y  y 2  y 
111