Page 16 - Решение задачи №14

Задача 1.14.

Точка M – середина ребра AD параллелепипеда ABCDA B C D .
1
1
1 1
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и B
1
параллельно прямой AC .
1
1
б) В каком отношении плоскость делит диагональ BD параллелепипеда?
1
Решение:

а) Прямая AC AC  , где  - плоскость сечения. Через прямую AC проходит плоскость
1 1

основания ABC . Плоскость  ABC    ME .

Прямая ME AC , по теореме о линии пересечения

плоскостей.

ME   , а также ME   ABC .


В плоскости  ABC продолжим прямые AB и BC . Прямые
AB ME  X и BC ME  X .
2
1


X   AA B , точка X  BBC .
1
1 1
1 1
2
Все точки прямой ME принадлежат плоскости сечения. Построим прямые X B и X B в
2
1
1 1


плоскостях  AAB и BBC соответственно. X B AA  L , X B 1 CC  K . Пятиугольник
1 1
1
1 1
2
1 1
1
MLB KE - искомое сечение.
1
б) Построим диагональное сечение BB D D . Плоскость диагонального сечения пересекается с
1
1
плоскостью сечения  по прямой B F . Прямая
1
B F BD  P в плоскости диагонального сечения.
1
1

Рассмотрим подобные треугольники BPF  D PB
1
1
(1 признак подобия: пара вертикальных и пара накрест лежащих
B D 4
углов), с коэффициентом подобия k  1 1  .
BF 3
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
BP : PD  3: 4 .
1

Ответ: Плоскость сечения делит диагональ BD в отношении 3: 4 , считая от вершины B .
1

15