Page 17 - Решение задачи №14

Задача 1.15.

Точки M и N – середины ребер соответственно AB и CDтреугольной пирамиды ABCD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения медиан
треугольника ABC параллельно прямым AB иCD.

б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок MN ?

Решение:

а) Пусть О - точка пересечения медиан треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Через точку О проведем прямую параллельную
прямой АВ . Эта прямая пересекает стороны
треугольника в точках F и E .

Обозначим эту прямую FE . FE АВ по теореме о
линии пересечения плоскостей.

Точка M - середина отрезка АВ .

Построим вспомогательное сечение CDM в
треугольной пирамиде. В плоскости
вспомогательного сеченияCDM через точку О -
середину отрезка FE , проведем прямую
параллельную прямой CD.CDM    OK , где

 - плоскость искомого сечения.

По условию АВ  и через АВ проходит плоскость  ADB . Плоскость  ADB    HT , то по

теореме о линии пересечения плоскостей HT AB . Следовательно, четырехугольник FHTE -
искомое сечение.


б) Рассмотрим подобные треугольники NMC  PMO . Треугольники подобны по первому
MС 3
признаку подобия. Заметим, что  , так как О - точка пересечения медиан треугольника
MO 1
 ABC .

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон.

СO PN 2
Откуда мы получим отношение:   .
MO MP 1

Ответ: Плоскость сечения  делит отрезок MN в отношении 1: 2, считая от точки M .

16