Page 41 - MODUL DARING SISTEM PENGATURAN_Neat

Misalnya syarat awal dari persamaan diferensial pada persamaan (2-62) di atas

dx
adalah x(0) = x0 dan ( x  ) 0 = v0. Lambang x  adalah singkatan untuk . Persamaan
dt

diferensial dalam persamaan (2-62) kadang-kadang disebut tanggapan dinamik
(dynamic response) suatu sistem. Variabel x(t) menentukan tanggapan sistem

terhadap penguatan (forcing, excitation), u(t). x(t) dan u(t) berturut-turut sering
disebut keluaran sistem dan masukan sistem. Jika persamaan (2-62) di-Laplace-kan

maka diperoleh :

d 2 x dx
a L{ } + b L{ } + c L{x} = L{u(t)} ...................................... (2-63)
dt 2 dt

a[s²X(s) – s x(0) - x  (0)] + b[sX(s) – x(0)] + c X(s) = U(s) ............... (2-64)
a[s²X(s) – s xo - vo] + b[sX(s) – xo] + c X(s) = U(s) .......................... (2-65)

(as² + bs + c) X(s) – a s xo – b xo – a vo = U(s) ................................ (2-66)

Akhirnya fungsi Laplace untuk keluaran sistem dapat diperoleh :
U ) s ( + s a ( + x ) b + a v
X(s) = 0 0 ........................................................ (2-67)
2
as + bs+ c

Dengan melakukan Laplace invers terhadap persamaan (2-67) maka diperoleh
keluaran sistem sebagai fungsi dari waktu.

U ) s ( + s a ( + x ) b + a v
-1
-1
x(t) = L {X(s)} = L { 0 0 } ........................... (2-68)
as + bs+ c
2

CONTOH 2.10 :
Selesaikanlah persamaan diferensial berikut :

d 2 x dx
-t
+ 5 + 6 x = 2 e (untuk t  0). Kondisi awal pada saat t = 0 adalah x = 1
dt 2 dt
dan x  = 0.
JAWAB :

Dari soal diketahui bahwa x(0) = 1 dan x  (0) = 0
Selanjutnya kedua ruas persamaan diferensial dalam soal di-Laplace-kan sambil x(t)

ditulis dalam bentuk yang singkat.
d 2 x dx
-t
L{ } + 5 L{ } + 6 L{x} = 2 L{e }
dt 2 dt

Dasar-dasar Matematika : Transformasi Laplace 40