Page 114 - 수학(상)

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^
^
) 4 좌표평면 위의 세 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h , C x 3 , y 3h 을 꼭짓점으로 하는
,
삼각형 ABC 의 무게중심 G xyh 는 Gc x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 m 이다.
^
3 3
x 2 + x 3 y 2 + y 3 y A^ , x 1 y 1h
오른쪽 그림에서 변 BC 의 중점은 Mc , m 이다.
2 2
,
점 G xyh 는 선분 AM 을 :21로 내분하는 점이므로 2
^
x 2 +
2 # x 3 + 1 # x 1
x = 2 2 + 1 = x 1 + x 2 + x 3 , 1 G^ , xyh
3
B^ , x 2 y 2h
y 2 + M
2 # y 3 + 1 # y 1 y 1 + y 2 + C^ , x 3 y 3h
y = 2 2 + 1 = 3 y 3 이다. O x 단원
07
x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3
따라서 삼각형 ABC 의 무게중심 G 는 Gc x 3 , m 이다. 평
3 3
2
2
2
,
) 5 세 점 ,AB C 와 임의의 점 P 에 대하여 AP + BP + CP 의 값이 최솟값을 가질 때는 점 P 가 면
2
2
2
2
2
2
3 ABC 의 무게중심 G 위에 있을 때이다. 즉 AP + BP + CP 의 최솟값은 AG + BG + CG 이다. 좌
,
^
^
^
^
삼각형 ABC 의 세 꼭짓점을 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h , C x 3 , y 3h 라 하고 점 P 의 좌표를 P xyh 라 하면 표
2
2
2
AP + BP + CP = ] x - g 2 y - h 2 x - g 2 y - h 2 x - g 2 y - h 2
x 1 + ^
y 2 + ]
y 1 + ]
x 3 + ^
x 2 + ^
y 3
2
y y +
2
2
2
2
2
= x 3 - 2] x 1 + x 2 + g x 1 + x 2 + x 3 + y 3 - 2^ y 1 + y 2 + h y 1 + y 2 + y 3 2
2
x x +
3
3
x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 + y 3 2 ] x 1 + x 2 + g 2 ^ y 1 + y 2 + h 2
x 3
y 3
2
2
2
2
2
= 3b x - 3 x 3 l + 3c y - 3 m + x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 - 3 - 3
2
2
2
2
이므로 AP + BP + CP 은 x = x 1 + x 2 + x 3 , y = y 1 + y 2 + y 3 일 때, 최솟값을 갖고
3
3
x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3
이때 점 P 의 좌표는 Pc x 3 , m이다. 따라서 점 P 는 삼각형 ABC 의 무게중심이다.
3 3
2
2
참고 두 점 ,AB 와 임의의 점 P 에 대하여 AP + BP 의 값이 최솟값을 가질 때는
2
2
2
2
점 P 가 AB 의 무게중심(중점) M 위에 있을 때이다. 즉 AP + BP 의 최솟값은 AM + BM 이다.
)6 삼각형의 세 변을 각각 mn m > 0 , n > 0h 으로 내분하는 점을 연결한 삼각형의 무게중심은
:
^
원래 삼각형의 무게중심과 같다.
mx 3 + my 3 + ny 2 mx 1 + my 1 + ny 3 mx 2 + my 2 + ny 1
Pb nx 2 , l , Qb nx 3 , l , Rb nx 1 , l 이므로
m + n m + n m + n m + n m + n m + n
,
삼각형 PQR 의 무게중심 G xyh 는 A^ , x 1 y 1h
^
m
mx 3 + nx 2 mx 1 + nx 3 mx 2 + nx 1 n
m + n + m + n + m + n x 1 + x 2 + x 3 R
x = = ,
3 3 n Q
my 3 + ny 2 my 1 + ny 3 my 2 + ny 1 G m
m + n + m + n + m + n y 1 + y 2 + y 3 B^ , x 2 y 2h
y = = 이므로
3 3 m P C^ y 3h
3 ABC 의 무게중심과 3 PQR 의 무게중심은 같다. n , x 3
4. 삼각형의 외심 O 의 성질 A
]g
외접원
) 1 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 그 삼각형의 외접원이라 하고,
삼각형의 외접원의 중심을 그 삼각형의 외심 O 이라 한다.
]g
R
) 2 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.
OA = OB = OC = R (외접원의 반지름 ) R
R
) 3 3 OAB , 3 OBC , 3 OCA 는 모두 이등변삼각형이다. O C
) 4 삼각형의 외심 O 은 예각삼각형이면 삼각형의 내부에, B
]g
직각삼각형이면 삼각형의 빗변의 중점에,
둔각삼각형이면 삼각형의 외부에 위치한다.
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