Page 164 - 수학(상)

예제 09 직선에 대한 점의 대칭이동

,
점 P 16h 을 다음에 대하여 대칭이동한 점 Q 의 좌표를 구하시오.
^
3
x
x
1
1 ]g y = 2 ]g y =- 3 ]g y =+ 4 ]g y =- + 5 ]g y = x 2 -
x
x
2
1 ]g x = y = 6 , y = x = 이므로 Q 6 ] , 1g 이다. 개념 다지기
l
l
1
l
2 ]g x =- =- 6 , y =- =- 이므로 Q - , 6 - 1h 이다. 점 P xyh를 직선 :ly = mx + 에 대하여
l
x
1
y
n
,
^
^
l
x
l
y
,
3 ]g x =- 3 = 6 - 3 = 3 , y = + 3 = 1 + 3 = 4 이므로 Q 34g 이다. 대칭이동한 점을 Q xl , ylh 이라 하면
^
]
6
4 ]g x =- + 2 =-+ 2 =- 4 , y =- + 2 =-+ 2 = 1이므로 Q - , 41h이다. 1 ]g m ! ! 1 인 경우
y
l
1
x
l
^
1단계 중점 조건 단원
5 ]g 1단계 중점 조건 x + xl y + yl 10
1 + xl 6 + yl PQ 의 중점 Mc 2 , 2 m 은
PQ 의 중점 M 의 좌표는 Mc , m
2 2 직선 l 위에 있다. 도
점 M 이 직선 y = x 2 - 위의 점이므로 2단계 수직 조건 형
1
6 + yl 1 + xl 직선 PQ 와 직선 l 은 서로 수직이다. 의
y =
= 2 # - 1 에서 x2 l - l 6 gg ①
2 2 2 ]g m = 인 경우
1
2단계 수직 조건 Q y - , n x + nh 이다. 이
^
l
y - 6 동
1
1
l
# 2 =- 에서 x + y 2 l = 13 gg ② 3 ]g m =- 인 경우
x - 1
l
x
y
Q -+ , n -+ nh 이다.
^
따라서 ①, ②를 연립하면 x = 5 , y = 4 이므로 Q 54g 이다.
l
,
l
]
예제 10 직선에 대한 도형의 대칭이동
0
4 = 이 ax +
2 =
2
1 + ^
]
두 원 x - g 2 y - h 2 1 ] 3 + ^ y + h 2 1 by + 10 = 에 대하여 대칭일 때,
, x - g
b
상수 ,ab 에 대하여 a + 의 값을 구하시오.
,
,
두 원의 중심이 P 12h , Q 3 - 4h 이므로 개념 다지기
^
^
1단계 중점 조건 두 원의 중심을 P abh , Q cdh
,
,
,
^
^
1 + 3 2 - 4
PQ 의 중점 M 의 좌표는 Mb , l = M^ , 2 - 1h 점 P 를 직선 :ly = mx + n 에
2 2
대하여 대칭이동한 점을 Q 라 하면
점 M 이 직선 ax + by + 10 = 위의 점이므로
0
1단계 중점 조건
2 a -+ 10 = 에서 b = 2 a + 10 gg ① a + c b + d
b
0
PQ 의 중점 Mb 2 , 2 l 는
2단계 수직 조건
직선 l 위에 있다.
-- 2 a 2단계 수직 조건
4
b
b
3 - 1 # - l =- 1 에서 b =- 3 a gg ②
직선 PQ 와 직선 l 은 서로 수직이다.
6
2
따라서 ①, ②를 연립하면 a =- 2 , b = 이므로 a +=-+ 6 = 4 이다.
b
예제 11 대칭이동을 활용한 거리의 최솟값
,
,
x
^
좌표평면 위의 두 점 A 13h , B 46h 과 직선 y = 위를 움직이는 점 P 에 대하여
^
AP + BP 의 최솟값을 구하시오.
,
점 A 13h 을 직선 y = x 에 대하여 대칭이동한 y B^ , 46h 개념 다지기
^
,
점을 Al이라 하면 A 31h 이다. y = x
l^
점 A 를 직선 y = x 에 대하여
l
AP + BP 의 최솟값은 AB 이므로 대칭이동한 점을 Al이라 하면
A^ , 13h P
l
AP + BP = l 4 - g 2 6 - g 2 26 이다. 점 P 가 직선 AB 위에 있을 때
1 =
3 + ]
AB = ]
AP + BP 의 값이 최소이다.
Al^ , 31h
O
x
159