Page 115 - Modul Aljabar

BAB VIII

VEKTOR KOORDINAT DAN PERUBAHAN BASIS

8.1 Vektor Koordinat

Dalam aljabar linear elementer, sebuah vektor koordinat
merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar

urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah
sebuah basis terurut khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif

terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat
iringnya membiarkan satunya mewujudkan ruang vektor dan

transformasi linear secara konkret sebagai vektor kolom, vektor

baris, dan matriks; mereka berguna dalam perhitungan.
Teorema 8.1

Jika = { , , … … … , } basis untuk ruang vector V,
1
2

maka setiap vector v didalam V dapat di nyatakan dalam bentuk
= + + ⋯ + persis dengan satu cara (bersifat

1 1
2 2
tunggal).
Pembuktian:

Misalkan = { , , … … … , } adalah sebuah basis untuk
1
2

setiap vector v di V dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam
vektor-vektor dalam berikut:

= + + ⋯ + …………… (1)
1 1

2 2
= + + ⋯ + …………... (2)

1 1
2 2
Selesaikan persamaan (1) dan (2), maka didapat:
0 = ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − )
2

2
1
1
2
1
Karena S basis untuk V maka S basis linier, sehingga:
110