Page 119 - Modul Aljabar

Perubahan basis memiliki banyak aplikasi dalam
matematika dan berbagai bidang lainnya. Contohnya termasuk

dalam aljabar linear, teori matriks, transformasi geometri, dan
pemodelan sistem fisika. Melalui perubahan basis, kita dapat

menyederhanakan perhitungan, menemukan representasi yang

lebih efisien, dan mempelajari struktur dan sifat dari ruang vektor
dengan cara yang lebih sistematis.

Definisi 1

Jika v adalah vektor dalam ruang vektor berdimensi-hingga

V, dan jika kita mengubah basis V dari basis lama B = { ,
2
1 ,
, … , } menjadi basis baru = { ′, ′, ′, … , ′}
′
3
3
2
1

Maka matriks koordinat lama [ ] dari suatu vektor V
′
dihubungkan dengan matriks koordinat baru [ ] melalui
′
persamaan
[ ] = P [ ]

′
Dengan kolom dari P adalah matriks koordinat dari vektor
basis baru relative terhadap basis lama [ ′] , [ ′] , [ ′] ,
1 ′
3 ′
2 ′
…, [ ′]
′
Pembuktian

Misalkan:

= { 1, 2} basis lama dan ′ = { 1′, 2′} basis baru.
Misalkan matriks koordinat untuk vektor basis lama relatif

terhadap basis baru adalah:

[ ] , = [ ] dan [ ] , = [ ]
2
1

114