Page 118 - Modul Aljabar

8.2 Perubahan Basis
Perubahan basis dalam matematika mengacu pada proses

mengganti satu set basis dengan set basis yang lain dalam suatu

ruang vektor. Basis adalah himpunan vektor yang linear
independen dan dapat menghasilkan semua vektor dalam ruang

vektor tersebut melalui kombinasi linear.
Ketika kita memiliki ruang vektor dengan basis asli, kita

dapat mewakili setiap vektor dalam ruang tersebut sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor basis tersebut. Namun,

terkadang lebih nyaman atau lebih efisien untuk menggunakan

basis yang berbeda. Dalam perubahan basis, kita mengganti basis
asli dengan basis baru.

Misalkan kita memiliki ruang vektor V dan dua basis yang

berbeda: basis asli {v1, v2, ..., vn} dan basis baru {u1, u2, ...,
un}. Setiap vektor dalam ruang vektor V dapat diekspresikan

sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis. Tujuan
perubahan basis adalah menemukan koefisien atau komponen

vektor dalam basis baru yang sesuai dengan vektor tersebut.
Perubahan basis melibatkan penentuan hubungan antara

koefisien dalam basis asli dengan koefisien dalam basis baru.

Untuk melakukan ini, kita menggunakan matriks perubahan
basis. Matriks ini terdiri dari vektor-vektor basis baru sebagai

kolom-kolomnya. Dengan menggunakan matriks perubahan
basis, kita dapat mentransformasikan koefisien dalam basis asli

menjadi koefisien dalam basis baru, dan sebaliknya.

113