Page 137 - Modul Aljabar

Misalkan dan adalah vektor di dalam jangkauan dari
2
1
. Untuk membuktikan bagian ini maka harus memperlihatkan
bahwa + dan berada di dalam jangkuan dari untuk
1
2
1
sebarang skalar ; yakni kita harus mencari vektor dan di
dalam sehingga ( ) = + dan ( ) = .
2
1
1
Karena dan berada di dalam jangkuan dari , maka ada
2
1
vektor dan di dalam sehingga ( ) = dan ( ) =
2
1
1
2
1
.
2
Misalkan = + dan = , maka
1
1
2
( ) = ( + ) = ( ) + ( ) = +
1
1
2
2
1
2
dan
( ) = ( ) = ( ) =
1
1
1
yang melengkapkan bukti tersebut.
Definisi 9.1.3
Jika ∶ → adalah transformasi linear, maka dimensi kernel
dari dinamakan nulitas dan dinotasikan dengan nulitas ( ).
sedangkan, dimensi jangkauan dari dinamakan rank dan
dinotasikan dengan rank( ).

Teorema 9.1.2

Jika ∶ → adalah transformasi linear dari ruang
vektor yang berdimensi kepada sebuah ruang vektor ,

maka:

Rank( ) + nulitas ( ) =

132