Page 167 - Modul Aljabar

diagonal, maka dikatakan matriks A dapat didiagunalisasi secara
orthogonal dan P dikatakan mediagonalisasi secara orthogonal.

Definisi 11.1.2
Suatu matriks bujur sangkar A disebuat dapat didiagonalisasi

secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal P sedmikian

sehingga −1 = adalah diagonal; matriks P dikatakan
mendiagonalisasi A secara orthogonal.

Definisi 11.1.3

Sebuah matriks bujur sangkar A dikatakan simetrik bila =

Teorema 11.1.2

Jika A adalah matriks × , maka pernyataan berikut adalah
ekuivalen

1. A dapat didiagonalisasi secara ortogonal
2. A mempunyai suatu himpunan vector-vektor eigen yang

ortonormal

3. A merupakan matriks simetrik

Pembuktian:

( ) ⟹ ( ) Karena A dapat didiagonalisasi secara orthogonal

maka terdapat matriks P yang orthogonal sehingga −1

diagonal atau −1 = . P orthogonal berarti −1 = .
Seperti yang diperlihatkan dalam bukti teorema 2, maka vektor
kolom ke n dari P adalah vektor eigen A. Karena P orthogonal

maka vektor-vektor kolom ini ortonormal sehingga A
mempunyai n vektor eigen ortonormal.

162