Page 168 - Modul Aljabar

(b)⇒ (a) Anggaplah bahwa A mempunyai himpunan
ortonormal dari n vector eigen { , , … , } Seperti yang

1
2
diperlihatkan dalam bukti teorema 2 maka matriks P dengan
vector-vektor eigen ini sebagai kolom-kolom akan

mendiagonalisasi A secara ortogonal

(a)⇒ (c) Dalam bukti (a)⇒ (b) kita menunjukkan bahwa
matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi oleh

matriks P yang berukuran n x n secara orthogonal yang

kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal dari
vector-vektor eigen yang berukuran A. misalkan D adalah

matriks diagonal

= −1
Dengan mengalikan kedua ruas dengan P pada bagian kiri,
diperoleh = Atau = Kemudian, dengan
−1
−1
mengalikan kedua ruas dengan pada bagian kanan,
−1
diperoleh −1 = atau −1 =
−1
Jadi = atau karena P orthogonal maka =

sehingga = ( ) = = = yang

menunjuk- kan bahwa A simetrik
Contoh
1 4 5 1 4 5

Jika = [4 −3 0] adalah simetris, maka = [4 −3 0] =
5 0 7 5 0 7

Dengan demikian matriks A dikatakan simetris.

Teorema 11.1.3

Jika A adalah matriks simetrik, maka:
1. Nilai eigen matriks semuanya merupakan bilangan real

163