Page 83 - Modul Aljabar

3
Tunjukkan bahwa himpunan = {x 1, x 2, x 3} di R , jika diketahui
3
x 1 = (2,1,0), x 2 = (1,1,3), x 3 = (3,2,1) adalah basis dari R
Penyelesaian :
Akan diselidiki apakah himpunan S bebas ;inear dan merentang

R 3

k 1x 1 + k 2x 2 + k 3x 3= 0
Menjadi

(2,1,0) + (1,1,3) + (3,2,1)
1
2
3
Atau
(2 + + 3 , + + 2 , 3 + ) = (0,0,0)
2
1
3
3
3
2
1
2
Sehingga dapat dibentuk komponen-komponen yang berpadanan,
yaitu
2 + + 3 = 0
2
3
1
+ + 2 = 0
1
2
3
3 + = 0
2
3
Dapat dicek bahwa sistem persamaan linear tersebut memiliki
penyelesaian trivial, yaitu k 1 = 0, k 2 = 0, dan k 3 = 0. Dengan
demikian, S adalah himpunan bebas linear. Kita juga bisa
menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak dengan
melihat determinan dari matriks koefisien system persamaan di

atas
2 1 3
= [1 1 2]
0 3 1
2 1 3
( ) = [1 1 2] = 0
0 3 1

78