Page 84 - Modul Aljabar

Maka diketahui bahwa determinan matriks bernilai nol, sehingga
himpunan bebas linear,

Kemudian kita misalkan ambil sebarang vektor u = (x, y, z )
3
pada R . Pandang persamaan

u = k 1x 1 + k 2x 2 + k 3x 3
Dengan menjabarkan persamaan tersebut, diperoleh
2 + + 3 = x
3
2
1
+ + 2 = y
2
1
3
3 + = z
3
2
Perhatikan bahwa sistem tersebut memiliki matriks koefisien
yang sama dengan sebelumnya, sehingga diperoleh det(A) = 0.
3
Dengan demikian, S merentang R . Karena S adalah himpunan
3
3
bebas linear dan merentang R , maka S adalah basis dari R .
6.2.2. Dimensi untuk Sebuah Ruang Vektor
Definisi 1

Dimensi merupakan suatu ruang vektor tak nol disebut
berdimensi terhingga jika berisi suatu himpunan vektro

terhingga { 1, 2, … , n} yang membentuk suatu basis. Jika

tidak ada himpunan yang seperti itu, maka disebut berdimensi
tak-hingga.

Teorema 6.2

Jika adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { 1,
2, … , } adalah sebarang basis, maka setiap himpunan

dengan lebih dari vektor adalah tak bebas secara linear
Teorema 6.3

Sembarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga
mempunyai jumlah vektor yang sama

79