Page 376 - Álgebra

a. Relación con el discriminante
Para que la cuadrática pueda llevarse a la forma (.x-h)2+k,
donde k>0, su discriminante debe ser negativo (A<0).

Esto puede corroborarse en los siguientes ejemplos:

• x2-2x+5=(x-1)2+4

A=(-2)2-4(1)(5)
Emportante -
A=-16 < 0

¿Por qué la cuadrática x^mx+n • x2-4x+10=(x-2)2 + 6
siempre es positiva cuando su
discriminante es negativo? A=(—4)2—4(1)(10)

A=-24 < 0
Completamos cuadrados.
P(X)~>^+mx+n
• x2-6 x+10=(x-3 )2 + 1

f m f I ' m' A=(-6)2-4(1)(10)
P{x) = x ¿ + mx + — + n-
12 ) c 2 ,
A=-4 < 0
„ . m \2 4 n -m 2
PM = \ X + J ) + Entonces podemos afirmar que una cuadrática x~+mx+n pue­
de llevarse a la forma {x-h)2+k, donde k > 0, solo cuando su
m Ÿ mz -4n
x + y J 4 discriminante es negativo (A<0).
Esta afirmación está basada en una propiedad de la cuadrática
Como m2-4n es el discriminan­
conocida con el nombre de teorema del trinomio positivo.
te (A), tendremos

b. Teorema del trinomio positivo
La cuadrática x2+mx+n, donde m y n e R , es de signo positi­
Observe que cuando A< 0 ocu­
vo para todo x e R si y solo si su discriminante A=m2-4n es
rre lo siguiente:
negativo.

f
x 2 +mx + n
I / r / m - n>0 rx e R <-> A<0

Ejemplos
Se observa que cuando A < 0,
la cuadrática xz+mx+n es de • 1. P(x)=x2+ 2x+5
signo positivo para todo xe R.
Calculamos su discriminante.
A=22—4(1)(5)=—16

Como A<0, entonces la cuadrática jc +2x + 5 es de signo
positivo para todo x e R.